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【数学建模】元胞自动机 原创

2020-09-13 21:34:22 45点赞

二进制人工智能

1 历史
最初的元胞自动机是由冯 · 诺依曼在 1950 年代为模拟生物 细胞的自我复制而提出的. 但是并未受到学术界重视.
1970 年, 剑桥大学的约翰 · 何顿 · 康威设计了一个电脑游戏 “生命游戏” 后, 元胞自动机才吸引了科学家们的注意.

1983 年 S.Wolfram 发表了一系列论文. 对初等元胞机 256 种 规则所产生的模型进行了深入研究, 并用熵来描述其演化行 为, 将细胞自动机分为平稳型, 周期型, 混沌型和复杂型.

2 应用

  • 社会学: 元胞自动机经常用于研究个人行为的社会性, 流行 现象. 例如人口迁移, 公共场所内人员的疏散, 流行病传播.
  • 图形学: 元胞自动机以其特有的结构的简单性, 内在的并行 性以及复杂计算的能力成为密码学中研究的热点方向之一
  • 物理学: 在物理学中, 元胞自动机已成功的应用于流体, 磁 场, 电场, 热传导等的模拟. 例如格子气自动机.

3 一维元胞自动机——交通规则
定义:

在这里插入图片描述

元胞仅具有车和空两种状态.

在这里插入图片描述

规则:研究的变化对象只是中间的格子,后面的车子要比前面的车子起步延迟1格。

4 二维元胞自动机——生命游戏
定义:

在这里插入图片描述

元胞仅具有生和死两种状态.

在这里插入图片描述

规则:

骷髅:死亡;笑脸:生存
周围有三个笑脸,则中间变为笑脸
少于两个笑脸或者多于三个,中间则变死亡。

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5 什么是元胞自动机
离散的系统: 元胞是定义在有限的时间和空间上的, 并且元 胞的状态是有限.
动力学系统: 元胞自动机的举止行为具有动力学特征.
简单与复杂: 元胞自动机用简单规则控制相互作用的元胞 模拟复杂世界.

6 构成要素

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

(1)元胞 (Cell)

元胞是元胞自动机基本单元:

  • 状态: 每一个元胞都有记忆贮存状态的功能.
  • 离散: 简单情况下, 元胞只有两种可能状态; 较复杂情况下, 元胞具有多种状态.
  • 更新: 元胞的状态都安照动力规则不断更新.

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(2)网格 (Lattice)
不同维网格

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常用二维网格

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(3)邻居 (Neighborhood)

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(4)边界 (Boundary)

反射型:以自己作为边界的状态
吸收型:不管边界(车开到边界就消失)

(5)规则(状态转移函数)
定义:根据 元胞当前状态及其邻居状况 确定下一时刻该元胞状态的动力学函数, 简单讲, 就是一个状态转移函数.

  • 总和型: 某元胞下时刻的状态取决于且仅取决于它所有邻居 的当前状态以及自身的当前状态.
  • 合法型: 自动二进制机器人 总和型规则属于合法型规则. 但如果把元胞自动机 的规则限制为总和型, 会使元胞自动机具有局限性.

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(6)森林火灾 自动二进制机器人

绿色:树木;红色:火;黑色:空地。
三种状态循环转化:
树:周围有火或者被闪电击中就变成火。
空地:以概率p变为树木

理性分析:红为火;灰为空地;绿是树

元胞三种状态的密度和为1

火转化为空地的密度等于空地转换为树的密度(新长出来的树等于烧没的树)

f f f 是闪电的概率:远远小于树生成的概率; T s m a x T_ T s ma x ​ 是一大群树被火烧的时间尺度

程序实现
周期性边界条件
购进啊

其中的数字为编号
构建 邻居矩阵

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上面矩阵中的数字编号,对应原矩阵相同位置编号的上邻居编号,一 一对应 自动二进制机器人
同样道理:

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(7)交通概念
车距和密度

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流量方程

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守恒方程

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宏观连续模型:
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最常用的规则:

红色条表示速度是满的。

1 加速规则:不能超过 v m a x ( 2 格 / s ) v_(2格/s) v ma x ​ ( 2 格 / s )
2 防止碰撞:不能超过车距

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理论分析:

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结果分析: 密度与流量

第一个图:横坐标是归一化后的密度,纵坐标是车流量。第二个图:理论值与CA的结果

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结果分析: 时空轨迹

中间的深色区域是交通堵塞的区域。
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